Publicación: Contribución al estudio de ciertas ecuaciones funcionales clásicas
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2014-04-07
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Universidad Nacional de Educación a Distancia (España). Facultad de Ciencias. Departamento de Matemáticas Fundamentales
Resumen
En la memoria examinamos varias ecuaciones funcionales clásicas y, para ellas, estudiamos varios problemas relacionados con la descripción del espacio de las soluciones y la regularidad de las mismas. En particular, mostramos especial interés en la ecuación de Fréchet (1876-I 975) -cuyas soluciones continuas son los polinomios algebraicos ordinarios- y en algunas ecuaciones funcionales relacionadas con ésta, como son la ecuación rnonomial y las ecuaciones Kakutani-Nagumo-Walsh, y de Haruki. También consideramos una ecuación funcional que fue introducida recientemente en la literatura por Cherruault, Mora y Ziadi. En el caso de la ecuación monomial obtenemos, además, una descripción muy precisa del grafo de las soluciones discontinuas. La memoria se divide en dos paties. En la primera, que consta solamente del Capítulo 1, se exponen los Teoremas de Fréchet y Mantel (1878-1973), en su versión original, para la ecuación funcional de Fréchet. El Teorema de Fréchet de 1909 afirma que si f: 11!.-+ 11!. es una solución continua de la ecuación t::.n+ 1(f) =O, entonces fes un polinomio ordinario de grado a Jo sumo n. Este resultado fue posteriormente refinado y ahora sabemos que si f resuelve la ecuación anterior y está acotada en un conjunto dl medible-Lebesgue, con medida estrictamente positiva, ldll >O, entonces f es un polinomio algebraico ordinario (incluimos una nueva demostración de este resultado en el Capítulo 1 de la memoria). Sin embargo, hasta el año 2007 nadie había estudiado el grafo de Jos polinomios discontinuos. Entonces Almira y López-Moreno, utilizando técnicas de interpolación, proporcionaron una descripción cualitativa de los la clausura del grafo de las soluciones discontinuas de esta ecuación, en el caso unidimensional. Por otra parte, en 1937, Mantel estudió la ecuación de Fréchet desde una perspectiva diferente. Concretamente, él estaba interesado en conocer cuántos parámetros h son suficientes para garantizar que, si f es continua y t::.m+ 1(f) =O para todo x, entonces fes un polinomio algebraico ordinario. El Teorema de Mantel es la respuesta a esta pregunta. Monte! formuló su resultado tanto para funciones de una variable como para funciones de varias variables, y también estudió la misma cuestión con funciones holomorfas, esta vez buscando una caracterización de los polinomios algebraicos de variable compleja. En la memoria se incluye la demostración original de Mantel. En la segunda parte de la memoria exponemos los resultados principales de la tesis. A saber, en el Capítulo 2 caracterizamoS completamente las clausuras de los grafos ·de los monomios discontinuos y, como aplicación de las técnicas empleadas, obtenemos una nueva prueba del Teorema de Hamel-San Juan y del Teorema tipo Darboux para la ecuación de Fréchet. Además, probamos que conocer completamente las clausuras de los grafos de dos monomios no sirve para determinar completamente la clausura del grafo de la suma de ambos, lo cual explica al menos parcialmente por qué el problema de caracterizar completamente las clausuras de Jos grafos de Jos polinomios permanece aún abierto. En el Capítulo 3 se utilizan técnicas de análisis funcional (sobre subespacios invariantes por traslaciones) para demostrar algunas variaciones del Teorema de Mantel en varias variables. En el siguiente capítulo se estudia el Teorema de Montel-Popoviciu y se utilizan las técnicas de interpolación que se acaban de introducir para demostrar que la clausura del grafo de cualquier polinomio discontinuo de varias variables siempre contiene un abierto no acotado. De paso, este resultado nos proporciona un nuevo enfoque para un Teorema tipo Darboux para la ecuación de Fréchet en el caso multivariable. En el Capítulo S se demuestra un Teorema tipo Mantel para funciones definidas sobre el cuerpo «l!v de los números p-ádicos. El Capítulo 6 se ocupa de caracterizar Jos espacios de funciones continuas que resuelven las ecuaciones funcionales clásicas de Kakutani-Nagumo-Walsh, de Haruki y de Fréchet en varias variables. El capítulo 7 lo dedicamos a estudiar una ecuación funcional mucho más reciente, que fue introducida en la literatura por Cherrault, Mora y Ziadi en 1999. Finalmente, incluimos un capítulo dedicado a las conclusiones de la memoria, así como a explicar algunos problemas abiertos.
Descripción
Categorías UNESCO
Palabras clave
Citación
Centro
Escuela Internacional de Doctorado
Departamento
No procede