SEPTIEMBRE 2009
a) Simplifique por el método de Karnaugh la siguiente suma de minterms:
b) Realice un circuito, usando únicamente puertas NAND de dos entradas y utilizando el menor número de ellas, que efectúe la función lógica simplificada en el anterior apartado.
SOLUCIÓN:
La función lógica del enunciado viene expresada canónicamente como suma de minterms:
Una función lógica se puede expresar mediante dos formas canónicas:
a) Suma de minterms.
b) Producto de maxterms.
a) Los minterms son el producto de todas las entradas, asociando la variable natural (a, b, c, d) si toma el valor 1 en la tabla de verdad y negada (
, 
, 
, 
) si toma el valor 0. Se representa por mi los productos canónicos, con "i" igual al valor decimal de la combinación binaria que se obtiene al sustituir por 1 las variables que aparecen (en el producto canónico) en forma natural y por 0 a las que lo hacen en forma negada. En la siguiente tabla tenemos los minterms para cuatro entradas a, b, c y d.
b) Los Maxterms son la suma de todas las entradas, asociando la variable negada (, , , ) si toma el valor 1 en la tabla de verdad y sin negar (a, b, c, d) si toma el valor 0. Se representa por M i las sumas canónicas, con "i" igual significado que en los productos canónicos. En la siguiente tabla tenemos los Maxterms para cuatro entradas a, b, c y d.
| a | b | c | d | Maxterms | minterms |
|---|---|---|---|---|---|
0 |
0 |
0 |
0 |
 |
 |
0 |
0 |
0 |
1 |
 |
 |
0 |
0 |
1 |
0 |
 |
 |
0 |
0 |
1 |
1 |
 |
 |
0 |
1 |
0 |
0 |
 |
 |
0 |
1 |
0 |
1 |
 |
 |
0 |
1 |
1 |
0 |
 |
 |
0 |
1 |
1 |
1 |
 |
 |
1 |
0 |
0 |
0 |
 |
 |
1 |
0 |
0 |
1 |
 |
 |
1 |
0 |
1 |
0 |
 |
 |
1 |
0 |
1 |
1 |
 |
 |
1 |
1 |
0 |
0 |
 |
 |
1 |
1 |
0 |
1 |
 |
 |
1 |
1 |
1 |
0 |
 |
 |
1 |
1 |
1 |
1 |
 |
 |
El mapa de Karnaugh es la tabla de verdad dispuesta de otra manera: en una tabla colocamos las combinaciones de las entradas a y b en una columna y las de c y d en la fila. Las combinaciones de c y d no pueden cambiar de estado lógico las dos a la vez en dos filas consecutivas del mapa y tampoco las de a y b.
Esta es la representación del mapa de Karnaugh con los minterms.
| ab | cd | 00 |
01 |
11 |
10 |
|---|---|---|---|---|---|
| 00 |
m0 |
m1 |
m3 |
m2 |
|
01 |
m4 |
m5 |
m7 |
m6 |
|
| 11 | m12 |
m13 |
m15 |
m14 |
|
| 10 | m8 |
m9 |
m11 |
m10 |
|
En las posiciones de los minterms que aparecen en la expresión de la función lógica se pone un 1 y en las demás 0. Simplificación por unos: seleccionamos los "1"s del mapa de tal manera que los asociemos adyacentes en potencias de 2 ( 1, 2, 4, 8, etc), con las asociaciones más grandes posibles y la menor cantidad de ellas, sin dejar ningún "1" sin seleccionar. Los "1"s pueden pertenecer a varias asociaciones y las dos columnas (y filas) de los extremos son adyacentes entre sí.
En las asociaciones elegidas las entradas que cambian de estado se eliminan de la combinación: En los cuatro unos horizontales cambian c y d: m4 + m5 + m6 + m7 = En los dos unos verticales cambia b: m11 + m15 = |
Por tanto, la respuesta es:
Esta es la representación del mapa de Karnaugh con los Maxterms.
| ab | cd | 00 |
01 |
11 |
10 |
|---|---|---|---|---|---|
| 00 |
M15 |
M14 |
M12 |
M13 |
|
01 |
M11 |
M10 |
M8 |
M9 |
|
| 11 | M3 |
M2 |
M0 |
M1 |
|
| 10 | M7 |
M6 |
M4 |
M5 |
|
Simplificación por ceros: seleccionamos los "0"s del mapa de tal manera que los asociemos adyacentes en potencias de 2 ( 1, 2, 4, 8, etc), con las asociaciones más grandes posibles y la menor cantidad de ellas, sin dejar ningún "0" sin seleccionar. Los "0"s pueden pertenecer a varias asociaciones y las dos columnas (y filas) de los extremos son adyacentes entre sí.
En las asociaciones elegidas las entradas que cambian de estado se eliminan de la combinación: En los cuatro ceros horizontales cambian c y d: M15 M 14 M13 M 12 = En los cuatro ceros centrales cambian b y d: M7 M 6 M3 M 2 =
En los cuatro ceros laterales cambian b y c: M7 M 5 M3 M 1 =
|
Por tanto, la función simplificada por ceros es:
b) Para realizar el circuito con únicamente puertas NAND, hay que aplicar a la expresión de la función simplificada por unos una doble negación y las leyes de Morgan:
Recordamos las leyes de Morgan:
Negamos dos veces f (que sigue siendo f) y aplicamos a una de las negaciones la primera ley de Morgan.
Recordatorio de puerta NAND:
Tabla de verdad:
Una puerta NAND cuyas entradas son iguales funciona como una puerta inversora:
Aquí, ya tenemos las siguientes puertas NAND de dos entradas:
El circuito es el siguiente:
