JUNIO 2008

a) Obtenga expresiones de conmutación en función de a, b, c y d de las señales lógicas x1, x2, x3 y z mostradas en la figura.

b) Represente sobre un mapa de Karnaugh la función lógica, z(a, b, c, d), que realiza el circuito mostrado en la figura.

SOLUCIÓN:

a) Para conocer la ecuación de la función que representa el circuito, vamos analizando que salida se produce en cada puerta según las entradas que tiene y la operación que realiza dicha puerta, empezando por las entradas iniciales.

Las puertas del circuito son puertas NOR cuya expresión y tabla de verdad son:

Tabla de verdad:

Una puerta NOR cuyas entradas son iguales funciona como una puerta inversora:

Identificamos cada puerta y sus entradas:

nº puerta	tipo	entradas			salida
1	NOR	b	c
2	NOR	c	c
3	NOR		d
4	NOR	a	x2	x3

Por tanto, las expresiones de x1, x2, x3 y z en función de a, b, c y d son:

;

;

;

.

b) Para simplificar la función z por el método de Karnaugh, primero obtenemos la tabla de verdad. Construimos la Tabla de Verdad de la función poniendo en columnas todas las posibles combinaciones de las entradas. Como son 4 entradas tenemos 2⁴ = 16 combinaciones posibles. Para cada combinación de entradas ponemos en la columna de la salida el valor correspondiente de realizar las operaciones de la ecuación de la función o probamos en el circuito todas las combinaciones viendo que sale en cada puerta hasta el final:

Una función lógica se puede expresar mediante dos formas canónicas:

a) Suma de minterms.

b) Producto de maxterms.

a) Los minterms son el producto de todas las entradas, asociando la variable natural (a, b, c, d) si toma el valor 1 en la tabla de verdad y negada (, , , ) si toma el valor 0. Se representa por m_i los productos canónicos, con "i" igual al valor decimal de la combinación binaria que se obtiene al sustituir por 1 las variables que aparecen (en el producto canónico) en forma natural y por 0 a las que lo hacen en forma negada. En la siguiente tabla tenemos los minterms para cuatro entradas a, b, c y d.

b) Los Maxterms son la suma de todas las entradas, asociando la variable negada (, , , ) si toma el valor 1 en la tabla de verdad y sin negar (a, b, c, d) si toma el valor 0. Se representa por M _i las sumas canónicas, con "i" igual significado que en los productos canónicos. En la siguiente tabla tenemos los Maxterms para cuatro entradas a, b, c y d.

d	c	b	a	Maxterms	minterms
0	0	0	0
0	0	0	1
0	0	1	0
0	0	1	1
0	1	0	0
0	1	0	1
0	1	1	0
0	1	1	1
1	0	0	0
1	0	0	1
1	0	1	0
1	0	1	1
1	1	0	0
1	1	0	1
1	1	1	0
1	1	1	1

El mapa de Karnaugh es la tabla de verdad dispuesta de otra manera: en una tabla colocamos las combinaciones de las entradas a y b en una columna y las de c y d en la fila. Las combinaciones de c y d no pueden cambiar de estado lógico las dos a la vez en dos filas consecutivas del mapa y tampoco las de a y b.

Esta es la representación del mapa de Karnaugh con minterms.

Simplificación por unos: seleccionamos los "1"s del mapa de tal manera que los asociemos adyacentes en potencias de 2 ( 1, 2, 4, 8, etc), con las asociaciones más grandes posibles y la menor cantidad de ellas, sin dejar ningún "1" sin seleccionar. Los "1"s pueden pertenecer a varias asociaciones y las dos columnas (y filas) de los extremos son adyacentes entre sí.

Por tanto, la función lógica z simplificada es:

Esta es la representación del mapa de Karnaugh con los Maxterms.

Simplificación por ceros: seleccionamos los "0"s del mapa de tal manera que los asociemos adyacentes en potencias de 2 ( 1, 2, 4, 8, etc), con las asociaciones más grandes posibles y la menor cantidad de ellas, sin dejar ningún "0" sin seleccionar. Los "0"s pueden pertenecer a varias asociaciones y las dos columnas (y filas) de los extremos son adyacentes entre sí.

Por tanto, la función simplificada por ceros es:

Recordamos las leyes de Morgan:

Negamos dos veces z (que sigue siendo z) y aplicamos a una de las negaciones la segunda ley de Morgan.

Hemos obtenido la ecuación de z simplificada con puertas NOR (el circuito del enunciado)