EJERCICIO 39 (Examen del Plan Nuevo Electrónica Digital septiembre 2008/9 reserva)
Dada la siguiente Tabla de Verdad:
Determine cuál es su función canónica en minitérminos (minterms):
Determine cuál es su función canónica en maxitérminos (maxterms):
Simplifique la expresión por el método de Karnaugh:
SOLUCIÓN:
Una función lógica se puede expresar mediante dos formas canónicas:
a) Suma de minterms.
b) Producto de maxterms.
a) Los minitérminos (minterms) son el producto de todas las entradas, asociando la variable natural (a, b, c, d) si toma el valor 1 en la tabla de verdad y negada (a´, b´, c´, d´) si toma el valor 0. Se representa por mi los productos canónicos, con "i" igual al valor decimal de la combinación binaria que se obtiene al sustituir por 1 las variables que aparecen (en el producto canónico) en forma natural y por 0 a las que lo hacen en forma negada.
b) Los maxitérminos (Maxterms) son la suma de todas las entradas, asociando la variable negada (a´, b´, c´, d´) si toma el valor 1 en la tabla de verdad y sin negar (a, b, c, d) si toma el valor 0. Se representa por M i las sumas canónicas, con "i" igual significado que en los productos canónicos.
En la siguiente tabla tenemos los minitérminos y los maxitérminos para cuatro entradas a, b, c y d, así como el valor de la salida f:
| d | c | b | a | Maxterms | minterms | f |
|---|---|---|---|---|---|---|
0 |
0 |
0 |
0 |
M15 = d+c+b+a |
m0 = d´c´b´a´ |
1 |
0 |
0 |
0 |
1 |
M14 = d+c+b+a´ |
m1 = d´c´b´a |
0 |
0 |
0 |
1 |
0 |
M13 = d+c+b´+a |
m2 = d´c´ba´ |
1 |
0 |
0 |
1 |
1 |
M12 = d+c+b´+a´ |
m3 = d´c´ba |
0 |
0 |
1 |
0 |
0 |
M11 = d+c´+b+a |
m4 = d´cb´a´ |
0 |
0 |
1 |
0 |
1 |
M10 = d+c´+b+a´ |
m5 = d´cb´a |
1 |
0 |
1 |
1 |
0 |
M9 = d+c´+b´+a |
m6 = d´cba´ |
1 |
0 |
1 |
1 |
1 |
M8 = d+c´+b´+a´ |
m7 = d´cba |
1 |
1 |
0 |
0 |
0 |
M7 = d´+c+b+a |
m8 = dc´b´a´ |
0 |
1 |
0 |
0 |
1 |
M6 = d´+c+b+a´ |
m9 = dc´b´a |
1 |
1 |
0 |
1 |
0 |
M5 = d´+c+b´+a |
m10 = dc´ba´ |
1 |
1 |
0 |
1 |
1 |
M4 = d´+c+b´+a´ |
m11 = dc´ba |
0 |
1 |
1 |
0 |
0 |
M3 = d´+c´+b+a |
m12 = dcb´a´ |
1 |
1 |
1 |
0 |
1 |
M2 = d´+c´+b+a´ |
m13 = dcb´a |
0 |
1 |
1 |
1 |
0 |
M1 = d´+c´+b´+a |
m14 = dcba´ |
0 |
1 |
1 |
1 |
1 |
M0 = d´+c´+b´+a´ |
m15 = dcba |
1 |
La función lógica se puede expresar como suma de minitérminos (minterms), donde aparecerán aquellos que en la tabla de verdad la salida f valga "1":
f = m0 + m2 + m5 + m6+ m7 + m9 + m10 + m12 + m15
por tanto, observando la tabla, la respuesta correcta es:
d) 
La función lógica se puede expresar también, como producto de maxitérminos (Maxterms), donde aparecerán aquellos que en la tabla de verdad la salida f valga "0":
f = M 1M 2M4M 7M 11M 12M 14
por tanto, la respuesta correcta es:
b) 
El mapa de Karnaugh es la tabla de verdad dispuesta de otra manera: en una tabla colocamos las combinaciones de las entradas a y b en una columna y las de c y d en la fila. Las combinaciones de c y d no pueden cambiar de estado lógico las dos a la vez en dos filas consecutivas del mapa y tampoco las de a y b.
Esta es la representación del mapa de Karnaugh con minterms.
| dc | ba | 00 |
01 |
11 |
10 |
|---|---|---|---|---|---|
| 00 |
m0 |
m1 |
m3 |
m2 |
|
01 |
m4 |
m5 |
m7 |
m6 |
|
| 11 | m12 |
m13 |
m15 |
m14 |
|
| 10 | m8 |
m9 |
m11 |
m10 |
|
Simplificación por unos: seleccionamos los "1"s del mapa de tal manera que los asociemos adyacentes en potencias de 2 ( 1, 2, 4, 8, etc), con las asociaciones más grandes posibles y la menor cantidad de ellas, sin dejar ningún "1" sin seleccionar. Los "1"s pueden pertenecer a varias asociaciones y las dos columnas (y filas) de los extremos son adyacentes entre sí.
En las asociaciones elegidas las entradas que cambian de estado se eliminan de la combinación: En los dos unos laterales izquierda-derecha cambia b: d´c´b´a´ + d´c´ba´ = d´c´a´ (b´ + b) = d´c´a´ En los dos unos verticales arriba-abajo de la derecha cambia d: d´c´ba´ + dc´ba´ = c´ba´ (d´ + d) = c´ba´ En los dos unos horizontales del centro cambia b: d´cb´a + d´cba = d´ca (b´ + b) = d´ca En los dos unos horizontales del centro derecha cambia a: d´cba´ + d´cba = d´cb (a´ + a) = d´cb En los dos unos verticales de la derecha cambia d: d´cba + dcba = cba (d´ + d) = cba Los dos unos que no se pueden asociar aparece la combinación con todas las variables: dc´b´a y dcb´a´ |
Por tanto, la función lógica f simplificada es la respuesta d):
f (d, c, b, a) = d´c´a + c´ba´ + d´ca + d´cb + cba + dc´b´a + dcb´a´