EJERCICIO 17 (Examen del Plan Nuevo Electrónica Digital septiembre 2005/6 Reserva)
Se tiene un sistema digital cuya función canónica es:
f(D,C,B,A) = m0+m1+m4+m5+m8+m9+m10
Indique la expresión más simplificada mediante Karnaugh:
a) f = DB+CB+D´CA.
b) f = D´B´+C´B´+DC´A´
c) f = D´C´B´+C´B´A+DCB
d) f = DCB+CBA´+D´C´B´.
¿Qué término se podría incluir como indiferente para optimizar la función obtenida?
a) m2
b) m3
c) m6
d) m14
SOLUCIÓN:
La función lógica del enunciado viene expresada canónicamente como suma de minterms:
f(D,C,B,A) = m0+m1+m4+m5+m8+m9+m10
Una función lógica se puede expresar mediante dos formas canónicas:
a) Suma de minterms.
b) Producto de maxterms.
a) Los minterms son el producto de todas las entradas, asociando la variable natural (A,B,C,D) si toma el valor 1 en la tabla de verdad y negada 
o (A´, B´, C´, D´) si toma el valor 0. Se representa por mi los productos canónicos, con "i" igual al valor decimal de la combinación binaria que se obtiene al sustituir por 1 las variables que aparecen (en el producto canónico) en forma natural y por 0 a las que lo hacen en forma negada. En la siguiente tabla tenemos los minterms para cuatro entradas A, B, C y D.
b) Los Maxterms son la suma de todas las entradas, asociando la variable negada o (A´, B´, C´, D´)si toma el valor 1 en la tabla de verdad y sin negar (A,B,C,D) si toma el valor 0. Se representa por M i las sumas canónicas, con "i" igual significado que en los productos canónicos. En la siguiente tabla tenemos los Maxterms para cuatro entradas A, B, C y D.
| D | C | B | A | Maxterms | minterms |
|---|---|---|---|---|---|
0 |
0 |
0 |
0 |
M15=  |
m0=  |
0 |
0 |
0 |
1 |
M14=  |
m1=  |
0 |
0 |
1 |
0 |
M13=  |
m2=  |
0 |
0 |
1 |
1 |
M12=  |
m3=  |
0 |
1 |
0 |
0 |
M11=  |
m4=  |
0 |
1 |
0 |
1 |
M10=  |
m5=  |
0 |
1 |
1 |
0 |
M9=  |
m6=  |
0 |
1 |
1 |
1 |
M8=  |
m7=  |
1 |
0 |
0 |
0 |
M7=  |
m8=  |
1 |
0 |
0 |
1 |
M6=  |
m9=  |
1 |
0 |
1 |
0 |
M5=  |
m10=  |
1 |
0 |
1 |
1 |
M4=  |
m11=  |
1 |
1 |
0 |
0 |
M3=  |
m12=  |
1 |
1 |
0 |
1 |
M2=  |
m13=  |
1 |
1 |
1 |
0 |
M1=  |
m14=  |
1 |
1 |
1 |
1 |
M0=  |
m15=  |
El mapa de Karnaugh es la tabla de verdad dispuesta de otra manera: en una tabla colocamos las combinaciones de las entradas D y C en una columna y las de B y A en la fila. Las combinaciones de D y C no pueden cambiar de estado lógico las dos a la vez en dos filas consecutivas del mapa y tampoco las de B y A..
| DC | BA | 00 |
01 |
11 |
10 |
|---|---|---|---|---|---|
| 00 |
m0 |
m1 |
m3 |
m2 |
|
01 |
m4 |
m5 |
m7 |
m6 |
|
| 11 | m12 |
m13 |
m15 |
m14 |
|
| 10 | m8 |
m9 |
m11 |
m10 |
|
En las posiciones de los minterms que aparecen en la expresión de la función lógica f = m0+m2+m7+m8+m15 se pone un 1 y en las demás 0. Simplificación: seleccionamos los "1"s del mapa de tal manera que los asociemos adyacentes en potencias de 2 ( 1, 2, 4, 8, etc), con las asociaciones más grandes posibles y la menor cantidad de ellas, sin dejar ningún "1" sin seleccionar. Los "1"s pueden pertenecer a varias asociaciones y las dos columnas (y filas) de los extremos son adyacentes entre sí.
En las asociaciones elegidas las entradas que cambian de estado se eliminan de la combinación: En los cuatro unos de arriba de la izquierda cambian A y C: En los cuatro unos de arriba y abajo de la izquierda cambian A y D: En los dos unos horizontales cambia B: |
Por tanto, la resapuesta correcta es b) f = D´B´+C´B´+DC´A´ .
¿Qué término se podría incluir como indiferente para optimizar la función obtenida?
a) m2
b) m3
c) m6
d) m14
Vamos a comprobar cómo se obtendría la mayor simplificación al añadir cada uno de los términos del enunciado a f = m0+m2+m3+m8+m11:
a) Añadimos m2
Al añadir m2 se pueden asociar los cuatro unos de las esquinas, simplificándose la función: En el témino de los cuatro unos desaparecen las variables B y D que van cambiando en los términos:
La función lógica f quedaría: |
b) Añadimos m3
Al añadir m3 como término indiferente X no hay mayores simplificaciones.
|
c)Añadimos m6
Al añadir m6 como término indiferente X no hay mayores simplificaciones. |
d) Añadimos m14
Al añadir m14 como término indiferente X no hay mayores simplificaciones. |
Por tanto, la solución es a).
