EJERCICIO 3 (Examen del Plan Antiguo Electrónica II Junio 2001/2 2ª Prueba Personal 1 ª Semana)
Diseñe y minimice un sistema combinacional capaz de realizar la multiplicación de dos números binarios,de un dígito cada uno. El sistema tendrá una señal de acarreo de entrada, y una señal de acarreo de salida. Describa el método de generalización del problema para números de un número mayor de dígitos binarios.
SOLUCIÓN:
Las entradas del sistema serán los números de un dígito A y B que vamos a multiplicar y el acarreo de entrada C.
Las salidas del sistema serán un resultado R que saldrá de multiplicar los números A y B y sumar el acarreo de entrada C; y un acarreo (de la operación anterior) de salida D.
Recordamos la suma de dos números binarios: S = A + B
| ENTRADAS | SALIDAS | ||
|---|---|---|---|
A |
B |
SUMA |
ACARREO |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
1 |
1 |
0 |
1 |
0 |
1 |
0 |
1 |
1 |
0 |
1 |
Tenemos la siguiente tabla de verdad:
|
A = número binario de un dígito |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Para simplificar las salidas R y D utilizamos el mapa de Karnaugh: en una tabla colocamos las combinaciones de las entradas A y B en una fila y la C en la columna. Las combinaciones de A y B no pueden cambiar de estado lógico las dos a la vez en dos columnas consecutivas del mapa.
| C | AB | 00 | 01 | 11 | 10 |
|---|---|---|---|---|---|
| 0 |
|||||
1 |
|||||
Simplificación para R: se colocan los valores de R de la tabla de verdad en las celdas correspondientes del mapa de Karnaugh.
| C | AB | 00 | 01 | 11 | 10 |
|---|---|---|---|---|---|
| 0 |
0 |
0 |
1 |
0 |
|
1 |
1 |
1 |
0 |
1 |
|
El mapa de Karnaugh no es más que la Tabla de Verdad dispuesta de otra manera.
Simplificación: seleccionamos los "1"s del mapa de tal manera que los asociemos adyacentes en potencias de 2 ( 1, 2, 4, 8, etc), con las asociaciones más grandes posibles y la menor cantidad de ellas, sin dejar ningún "1" sin seleccionar. Los "1"s pueden pertenecer a varias asociaciones y las dos columnas de los extremos son adyacentes entre sí.
Para D no hay posible simplificación: D = ABC.
El circuito lógico es:
GENERALIZACIÓN A MULTIPLICACIÓN DE NÚMEROS BINARIOS DE MÁS DÍGITOS.
El circuito anterior podemos verlo como un multiplicador básico que realiza el producto de dos bits (A y B) y les suma un acarreo (C), dando como salidas el resultado de dicha operación (R) y el acarreo generado en ella (D).
Si examinamos la multiplicación de dos números binarios de dos bits A (A1A0) y B (B1B0), vemos que:
1) E0 = M1 =A0B0, que podemos obtener en la salida R del multiplicador básico (MULTIPLICADOR 1) con entradas A0, B0 y acarreo de entrada C = 0. El acarreo de salida D será siempre 0.
2) E1 = M2 + M3; M2 = A1B0 que podemos obtenerlo en la salida R del multiplicador básico (MULTIPLICADOR 2) con entradas A1, B0 y acarreo de entrada C = 0 ó el acarreo de salida del multiplicador anterior (que es 0). Como M3 = A0B1; E1 podemos obtenerlo en la salida R del multiplicador básico (MULTIPLICADOR 3) con entradas A0, B1 y acarreo de entrada M2 = R del multiplicador 2.
3) E2 = M4 + acarreo de (M2+M3), como M4 = A1B1, E2 podemos obtenerlo en la salida R del multiplicador básico (MULTIPLICADOR 4) con entradas A1, B1 y acarreo de entrada C4 = acarreo de salida del multiplicador 3.
4) E3 = acarreo de (M4 + acarreo de (M2+M3)), es decir el acarreo del multiplicador 4.
Por tanto, el circuito con multiplicadores básicos de 1 bit para realizar multiplicaciones de números binarios de 2 bits será:
Para 3 ó más bits podemos ir igualmente enlazando los resultados R y los acarreos D de salida de unos multiplicadores básicos con los acarreos de entrada de otros e ir obteniendo las multiplicaciones y sumas necesarias para la consecución de la operación.